Spannungstensor

Spannungs|tensor,

 

1) Elastomechanik: symmetrischer dreidimensionaler kartesischer Tensor 2. Stufe (σ_ik), durch den der Spannungszustand (Spannung) in einem Punkt eines Körpers vollständig beschrieben werden kann. Der erste Index seiner Komponenten σ_ik, mit i, k ∈ (x, y, z), charakterisiert die Fläche, der zweite die Kraftrichtung. Die Diagonalelemente σ_ii ≡ σ_i sind die Normalspannungen auf drei orthogonalen Flächenelementen (z. B. eines Quaders um den betrachteten Punkt), die übrigen Elemente die an diesen Elementen angreifenden Schubspannungen σ_ik ≡ τ _ik; z. B. ist σ_xx ≡ σ_x die Normalspannung in Richtung der x-Achse auf ein Flächenelement, dessen Normale in x-Richtung weist, und τ_xy die an demselben Flächenelement in y-Richtung angreifende Schubspannung. Die Symmetrie des Spannungstensors, τ_ik = τ_ki, ergibt sich aus Gleichgewichtsgründen; seine Zeilen (Spalten) sind die Komponenten dreier orthogonaler Spannungsvektoren. Durch Drehung des Koordinatensystems können die Nebenglieder (i ≠ k) des Spannungstensors zu null gemacht werden (Hauptachsentransformation). Die so definierten Richtungen heißen Hauptrichtungen 1, 2, 3, die zugehörigen Spannungen σ₁, σ₂, σ₃ Hauptspannungen. Es ist üblich, diese so anzugeben, dass σ₁ ≧ σ₂ ≧ σ₃. - Ein einachsiger Spannungszustand liegt vor, wenn nur eine der drei Hauptspannungen ungleich null ist; verschwindet nur eine von ihnen, handelt es sich um ein zweiachsiges oder ebenes Spannungsproblem, in allen anderen Fällen um ein dreiachsiges.

 

 2) Elektrodynamik: maxwellscher S.Spannungstensor ['mækswəl-], symmetrischer Tensor 2. Stufe zur Berechnung der von elektrischen und magnetischen Feldern auf Ladungen und Ströme ausgeübten Kräfte. Seine als Maxwell-Spannungen bezeichneten kartesischen Komponenten

 

mit i, k ∈ (x, y, z), werden aus den Komponenten der elektrischen Feldstärke (E ) und Flussdichte (D) sowie der magnetischen Feldstärke (H ) und Induktion (B) gebildet; w = ½ (E D + H B) ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes, δ_ik das Kronecker-Symbol. Die an einem Volumen angreifenden Kräfte können als Integral des maxwellschen Spannungstensors über die Oberfläche des Volumens dargestellt werden, wenn die elektromagnetischen Felder nicht schnell veränderlich sind. Das Integral verschwindet, wenn sich im Volumen keine elektrische Ladungen befinden.